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21.12.2012
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Zufallstreffer bei CL-Auslosung

Zu kompliziert kombiniert, Uefa!

Von
AFP

Uefa-Generalsekretär Gianni Infantino bei der CL-Auslosung: Unwahrscheinliche Dopplung

Bei der Auslosung des Champions-League-Achtelfinals wurden exakt dieselben Paarungen gezogen wie bei einer Probeziehung zuvor. Will man errechnen, wie wahrscheinlich so ein Fall ist, stößt man auf knifflige Mathe-Probleme.

Berlin - Das war schon ein Ding! Da macht die Uefa extra ein paar Probeauslosungen, damit später vor laufenden Kameras alles klappt. Und bei diesem Test werden ausgerechnet die Mannschaften zusammengelost, die dann auch laut der richtigen Auslosung im Achtelfinale der Uefa Champions League gegeneinander antreten. Die Paarungen stimmen exakt, nur die Reihenfolge war etwas anders.

Wie wahrscheinlich ist ein solcher Fall? Besser gefragt: wie unwahrscheinlich? Eine präzise Antwort darauf sollte mit etwas Kombinatorik ja nicht allzu schwer sein, dachte ich. Ich rechne einfach die Zahl aller denkbaren Achtelfinalkonstellationen aus - und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann das Reziprok dieser Zahl. Gäbe es beispielsweise 1000 verschiedene Achtelfinals, wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Konstellation noch einmal auszulosen 1/1000, also 0,001.

Im Achtelfinale treten 16 Teams an, es gibt acht Paarungen. Würde man all die 16 Lose in eine Urne werfen und dann achtmal zwei Lose herausziehen, um die acht Begegnungen auszulosen, gäbe es 81.729.648.000 Varianten, also knapp 82 Milliarden.

Für alle mathematisch Interessierten: Diese Zahl erhält man, wenn man für jedes Lospaar die Zahl der Kombinationen mithilfe des sogenannten Binomialkoeffizienten berechnet.

Kombinationen = 16*15/2 * 14*13/2 * 12*11/2 * 10*9/2 * 8*7/2 * 6*5/2 * 4*3/2 * 2*1/2

Um auf das richtige Ergebnis zu kommen, muss man diese Zahl noch durch 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 dividieren, weil die Reihenfolge der Auslosung ja egal ist.

Bei der Auslosung der Champions League gelten jedoch zusätzliche Bedingungen, die die Zahl der möglichen Kombinationen drastisch reduzieren, wie wir gleich sehen werden. Die 16 Mannschaften sind die Erst- und Zweitplatzierten der Gruppen A bis H aus der ersten Phase der Champions League.

Champions League: Erst- und Zweitplatzierte der Gruppen A bis H

A B C D E F G H
Paris Schalke Malaga Dortmund Turin Bayern Barcelona ManU
Porto Arsenal Mailand Madrid Donezk Valencia Celtic Galatasaray
Tückische Ausnahmen

Die Uefa hat fürs Achtelfinale zwei Regeln festgelegt:

Regel 1 bedeutet, dass für jedes Team höchstens sieben verschiedene Gegner möglich sind. Und dass Borussia Dortmund sich in dieser Runde nicht noch mal mit Real Madrid messen muss, denn beide waren in derselben Gruppe. Regel 2 besagt, dass unter anderem Real Madrid nicht auf den FC Barcelona treffen darf.

Mit den beiden Regeln lässt sich vor der Auslosung für jedes Team die tatsächliche Zahl der in Frage kommenden Gegner ermitteln. Bei den zweitplatzierten FC Porto, Schachtjor Donezk, Celtic Glasgow und Galatasaray Istanbul sind das jeweils sieben, denn alle vier Teams sind die einzigen Vertreter ihrer Landesliga im Achtelfinale. Sie können deshalb gegen jeden der acht Gruppensieger antreten - nur nicht gegen den aus ihrer eigenen Gruppe. Macht genau sieben.

Der FC Arsenal und AC Milan haben sechs mögliche Gegner, weil es mit Juventus Turin und Manchester United je ein zweites Team aus ihrem Heimatland gibt, das Gruppensieger geworden ist. Bei Real Madrid und dem FC Valencia sind nur je fünf Gegner möglich, denn Malaga und der FC Barcelona haben ihre Gruppe jeweils gewonnen. Die drei deutschen Teams können im Achtelfinale schon deshalb nicht aufeinandertreffen, weil sie jeweils ihre Gruppe gewonnen haben.

Mit Stift und Papier gerechnet

Ich habe versucht, die Zahl der möglichen Kombinationen exakt zu berechnen - und soviel kann ich hier schon verraten, es ist mir nicht gelungen. Die Sache hat sich nämlich als äußerst vertrackt erwiesen - die Uefa-Regeln verkomplizieren das Problem.

Wie würde ich das Problem lösen? Ich schaue mir an, welche Gegner die Zweitplatzierten bekommen können. Weil nur die Paarungen selbst interessieren, nicht aber die Reihenfolge, in der sie gelost werden, fange ich beim fiktiven Losen mit den beiden spanischen Mannschaften an: FC Valencia und danach Real Madrid. Valencia hat fünf verschiedene mögliche Gegner, Real ebenfalls. Das müsste dann für Valencia fünf Varianten ergeben, und für Real eine weniger, also vier, denn eine Mannschaft wurde ja Valencia schon zugelost. Das ergibt dann 5*4=20 Möglichkeiten, dachte ich - und war bereits in die erste Falle getappt.

Denn es gibt einen Sonderfall, den ich nicht bedacht habe. Wenn Valencia der Sieger aus der Real-Madrid-Gruppe - das ist Borussia Dortmund - zugelost wird, gibt es für Real nicht nur noch vier mögliche Gegner, sondern weiterhin fünf. Denn Dortmund scheidet als Gegner für Real von Vornherein aus, beide waren in der Gruppenphase zusammen. Statt 5*4 = 20 gibt es deshalb 4*4+5 = 21 unterschiedliche Varianten der beiden Achtelfinals mit Beteiligung von Madrid und Valencia.

Das nächste Team, für das wir einen Gegner suchen, soll AC Mailand sein. Malaga, der erste aus der Gruppe von Mailand, muss noch in der Lostrommel sein, denn es konnte den anderen spanischen Teams Madrid und Valencia nicht zugelost werden.

Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden:

Jetzt wird es kompliziert: Ich muss nun die 21 möglichen Kombinationen für die ersten beiden Partien auseinander klamüsern in jene, bei denen Turin enthalten ist und in jene ohne Beteiligung von Turin. Diese beiden Zahlen multipliziere ich dann mit den eben berechneten Zahlen der Gegner für Mailand. Die Summe ist dann die Zahl unterschiedlicher Kombinationen für die ersten drei Begegnungen mit Beteiligung von Valencia, Real und Mailand.

Von den ersten 21 Varianten sind genau 13 ohne Beteiligung von Juventus Turin - aus 4*4+5 wird dann nämlich 3*3+4 - und 8 mit dem italienischen Team. Damit können wir die Zahl der unterschiedlichen Kombinationen der ersten drei Begegnungen ausrechnen:

13*4 + 8*5 = 52 + 40 = 92

Wenn wir jetzt weiterrechnen, zum Beispiel mit dem FC Arsenal, wird die Sache immer unübersichtlicher. Dann muss man nämlich noch immer mehr Fälle unterscheiden: Ist Schalke noch im Topf? Ist Manchester United nach dabei? Sind beide zugleich noch in der Verlosung? Beide dürfen Arsenal bekanntlich nicht zugelost werden. Schalke war mit Arsenal in einer Gruppe, ManU ist aus der Premier League. Und dieses Spielchen müssen wir dann bei jeder weiteren Mannschaft machen, bis wir beim letzten der acht Teams angekommen sind.

Ich habe dann irgendwann aufgehört, weitere Fälle zu unterscheiden. Das Ganze war für mich mit Stift und Papier nicht mehr überschaubar.

Lösung mit Hilfe eines Computerprogramms

Das Problem ist trotzdem lösbar - und zwar mit Hilfe eines kleinen Computerprogramms, das einfach alle möglichen Varianten durchzählt. Ein Kollege aus der SPIEGEL-Dokumentation hat genau dies gemacht und ist dabei auf die Zahl von 5463 Varianten gekommen. Diese Angabe ist ohne Gewähr! Wenn sie stimmt, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Achtelfinale zweimal mit identischen Paarungen ausgelost wird 1/5463 = 0,0001830. (Hier finden Sie alle möglichen Begegnungen in einer Excel-Tabelle.)

Damit Sie eine Vorstellung haben, wie viel "Glück" die Uefa bei ihrer Auslosung hatte: 0,0001830 ist etwas größer als die Wahrscheinlichkeit, fünfmal hintereinander beim Würfeln eine Sechs zu haben (1/65 = 0,0001286).

In unserem Forum wurde viel gerechnet. Falls einer unserer Leser auch auf 5463 oder eine ganz andere Zahl gekommen ist, freue ich mich über eine kurze Mail an holger_dambeck@spiegel.de.

Forum

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insgesamt 91 Beiträge
1. Abschätzung
elfer-uli 21.12.2012
Man kann die Wahrscheinlichkeit immerhin grob abschätzen, indem man bei jeder neuen Kugel, die aus Topf 1 kommt (Gruppenzweiter), die Wahrscheinlichkeit berechnet, genau die Partie aus dem Testdurchlauf zu reproduzieren (unter [...]
Man kann die Wahrscheinlichkeit immerhin grob abschätzen, indem man bei jeder neuen Kugel, die aus Topf 1 kommt (Gruppenzweiter), die Wahrscheinlichkeit berechnet, genau die Partie aus dem Testdurchlauf zu reproduzieren (unter Berücksichtigung aller Restriktionen), und alle Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert. Dieses Verfahren ist nicht exakt, da diese Einzelwahrscheinlichkeiten nicht unabhängig voneinander sind, aber immerhin als "Ziehen mit Zurücklegen" (bei verbotenen" Paarungen) eine gute Näherung. Man erhält so einen Wert von 1/(7*6*5*5*3*2) = 1/6300, also ungefähr 0.016% und damit dem exakten Wert von 1/5463 recht nahe.
2. Da wird höchstwahrscheinlich nachgeholfen
Vittorio Ferretti 21.12.2012
Ich kann mich an eine WM-Auslosung erinnern, da hat mindestens einer der prominetern Ausloser die Kugeln in seiner Vase nicht gemischt, soindern die oberste abgehoben. Das Leben ist vollo solcher getrickster Chancengleichheiten. [...]
Ich kann mich an eine WM-Auslosung erinnern, da hat mindestens einer der prominetern Ausloser die Kugeln in seiner Vase nicht gemischt, soindern die oberste abgehoben. Das Leben ist vollo solcher getrickster Chancengleichheiten. FIFA und UEFA sind dabei die Weltmeister.
3.
patecore 21.12.2012
Wie schon öfter angemerkt wurde Gestern: Das ist quatsch. Schon allein deshalb weil die paarungen Quotentechnisch absolut keinen Sinn ergeben. Zwei der brisantesten Paarungen (Milan - Barca und Real - Man U) schon im [...]
Zitat von Vittorio FerrettiIch kann mich an eine WM-Auslosung erinnern, da hat mindestens einer der prominetern Ausloser die Kugeln in seiner Vase nicht gemischt, soindern die oberste abgehoben. Das Leben ist vollo solcher getrickster Chancengleichheiten. FIFA und UEFA sind dabei die Weltmeister.
Wie schon öfter angemerkt wurde Gestern: Das ist quatsch. Schon allein deshalb weil die paarungen Quotentechnisch absolut keinen Sinn ergeben. Zwei der brisantesten Paarungen (Milan - Barca und Real - Man U) schon im Achtelfinale? Das sind paarungen die man als Veranstaler im Finale sehen will! Denn dann sind die Einschaltquoten richtig schön hoch. Im Achtelfinale nehmen die sich womöglich noch gegenseitig die Zuschauer weg. Das kann die UEFA nicht gut finden.
4. Mathe
jkoller 21.12.2012
- mit einem Programm hätte ich das auch gekonnt. - man lese den Faden des vorherigen Artikels, verwurste ihn, und schon hat man 'nen neuen Artikel. - Interessant wäre eine richtige mathematische Auflösung, aber dafür muss man [...]
- mit einem Programm hätte ich das auch gekonnt. - man lese den Faden des vorherigen Artikels, verwurste ihn, und schon hat man 'nen neuen Artikel. - Interessant wäre eine richtige mathematische Auflösung, aber dafür muss man richtig arbeiten und/oder was können.
5. Wie beim Topmodell
who_dares_wins 21.12.2012
Kann sich noch jemand an Germany's Next Topmodel erinnern, wo jemand in einem Blog den Verlauf und auch den Ausgang des "Modelwettbewerbs" vorhergesagt hat? Jetzt gibt es das eben auch in der Champions League. [...]
Zitat von sysopBei der Auslosung des Champions-League-Achtelfinales wurden exakt dieselben Paarungen gezogen wie bei einer Probeziehung zuvor. Will man errechnen, wie wahrscheinlich so ein Fall ist, stößt man auf knifflige Mathe-Probleme. Champions-League-Auslosung: So unwahrscheinlich war der Zufallstreffer - SPIEGEL ONLINE (http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/champions-league-auslosung-so-unwahrscheinlich-war-der-zufallstreffer-a-874254.html)
Kann sich noch jemand an Germany's Next Topmodel erinnern, wo jemand in einem Blog den Verlauf und auch den Ausgang des "Modelwettbewerbs" vorhergesagt hat? Jetzt gibt es das eben auch in der Champions League. Da ist zu viel Kohle im Spiel, als dass man da alles dem Zufall überlassen könnte.

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