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Wissenschaft

Rätsel der Woche

Das perfekt ausbalancierte Karussell

Es bietet Platz für 24 Fahrgäste - doch voll besetzt ist das Karussell nie. Damit es rund läuft, müssen die Menschen gleichmäßig verteilt sitzen. Für welche Personenzahlen gelingt das?

SPIEGEL ONLINE
Von und (Grafik)
Sonntag, 17.02.2019   18:40 Uhr

Wenn sich ein Rad schnell dreht, sollte es besser keine Unwucht haben. Denn sonst könnte es unrund laufen. Bei Autoreifen sorgen kleine am Rand der Felge befestigte Metallstücke dafür, dass das Rad nicht schlägt.

Das Problem kennt auch der Betreiber eines für 24 Personen konzipierten Karussells. Solange alle 24 gleichmäßig im Kreis angeordneten Plätze mit gleich schweren Personen besetzt sind, läuft alles gut. Doch häufig sind es weniger Fahrgäste - und dann stellt sich die Frage, ob das Karussell trotzdem austariert werden kann.

Sind es sechs Personen, ist die Antwort einfach. Sie lassen von Fahrgast zu Fahrgast immer drei Plätze frei - ihre Positionen bilden also ein regelmäßiges Sechseck. So läuft das Karussell rund.

Doch wie sieht es mit anderen Anzahlen aus? Mit welchen Personenzahlen ist ein Betrieb problemlos möglich?

Hinweis: Wir gehen davon aus, dass alle Fahrgäste gleich schwer sind. Das Karussell gilt als austariert, wenn der gemeinsame Schwerpunkt aller Personen identisch ist mit dem Mittelpunkt des Karussells.

insgesamt 59 Beiträge
WitBro 17.02.2019
1. Ist die Lösung wirklich korrekt?
Bei 11 Personen bezweifle ich das. Oberhalb/rechts der eine Diagonale bildenden Linie zähle ich 7 Personen (2x3+2x0,5), unterhalb/links nur 4 (3+2x0,5). Mein Gefühl sagt mir, dass das nicht gut gehen kann.
Bei 11 Personen bezweifle ich das. Oberhalb/rechts der eine Diagonale bildenden Linie zähle ich 7 Personen (2x3+2x0,5), unterhalb/links nur 4 (3+2x0,5). Mein Gefühl sagt mir, dass das nicht gut gehen kann.
schneidp 17.02.2019
2. Sollte korrekt sein
Es geht ja nur um den Schwerpunkt. dh alle Paare die gegenübersitzen kann man schon mal raus nehmen. Alle die ein Dreieck bilden, also je 7 abstand zueinander, kann man auch rausnehmen. Sieht komisch aus, aber der schwerpunkt [...]
Es geht ja nur um den Schwerpunkt. dh alle Paare die gegenübersitzen kann man schon mal raus nehmen. Alle die ein Dreieck bilden, also je 7 abstand zueinander, kann man auch rausnehmen. Sieht komisch aus, aber der schwerpunkt ist wirklich in der mitte.
rotella 17.02.2019
3. Ein Dreieck reicht auch
Bei der Betrachtung, welche Kombinationen mit einer ungeraden Anzahl Fahrgäste möglich sind, reicht es, nur ein Dreieck zu betrachten und die anderen ungeraden Werte durch sukzessives Hinzufügen von Zweierpaaren zu generieren. [...]
Bei der Betrachtung, welche Kombinationen mit einer ungeraden Anzahl Fahrgäste möglich sind, reicht es, nur ein Dreieck zu betrachten und die anderen ungeraden Werte durch sukzessives Hinzufügen von Zweierpaaren zu generieren. Es gibt zwölf mögliche Zweierpaare, von denen drei wegfallen, weil einer der beiden Sitze bereits durch die Passagiere, die das Dreieck bilden, besetzt sind. Bleiben also noch neun Paare. Somit ergeben sich die ungeraden Kombinationen 3, 5, 7, ..., 3+9*2=21. Nur 1 und 23 sind nicht möglich.
permissiveactionlink 17.02.2019
4. Das kann nur funktionieren,
wenn die Gesamtzahl der Sitzplätze keine Primzahl ist (das ist für 24 = 3 * 2^3 der Fall), und wenn die Anzahl der belegten Sitzplätze nicht relativ prim zur Gesamtzahl der Plätze ist, d.h. diese Anzahl belegter Plätze muss [...]
wenn die Gesamtzahl der Sitzplätze keine Primzahl ist (das ist für 24 = 3 * 2^3 der Fall), und wenn die Anzahl der belegten Sitzplätze nicht relativ prim zur Gesamtzahl der Plätze ist, d.h. diese Anzahl belegter Plätze muss mindestens einen Primfaktor besitzen, der auch in der Gesamtzahl auftritt. In diesem Fall darf also die Anzahl belegter Plätze nur 2 oder 3 oder ein Vielfaches von 2 und/oder 3 sein. Und 1 scheidet ohnehin generell aus. Zusätzlich sind dann also die Gästezahlen 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23 (alles Primzahlen) nicht zulässig. 24 Gäste wären als Lösung denkbar, sind aber aufgrund der Aufgabenstellung ausgeschlossen. Hätte das Karussel nur 23 (Primzahl) Sitzplätze, gäbe es keine einzige Lösung. Interessant ist die Frage nach der Gesamtzahl der insgesamt möglichen Gästeplatzierungen, wobei zyklische Verschiebungen nicht unterschieden werden sollen.
Alois Heinz 17.02.2019
5. Über die Anzahl der ausbalancierbaren k ...
Für wie viele verschiedene Zahlen k (zwischen 0 und n) gibt es eine ausbalancierte Lösung für ein gegebenes n? Die Antwort darauf findet sich hier: https://oeis.org/A322366
Für wie viele verschiedene Zahlen k (zwischen 0 und n) gibt es eine ausbalancierte Lösung für ein gegebenes n? Die Antwort darauf findet sich hier: https://oeis.org/A322366

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