Schrift:
Ansicht Home:
Wissenschaft

Rätsel der Woche

Zaubern mit Zahlen

Wenn Rechnen immer so einfach wäre: 45 mal 9? Einfach eine 0 zwischen die 4 und die 5 schieben - und wir haben das richtige Ergebnis. Gibt es noch mehr Zahlen, mit denen dieser Trick klappt?

SPIEGEL ONLINE
Von und (Grafik)
Samstag, 09.06.2018   19:35 Uhr

Mathematik gleicht manchmal Magie - und das ist auch bei diesem Rätsel der Fall. Es geht um das äußerst elegante Multiplizieren, bei dem wir nicht rechnen müssen.

Um 45 mit 9 zu multiplizieren, nehmen wir einfach die Ausgangszahl, schieben zwischen die Ziffern 4 und 5 eine 0 ein, erhalten 405 und sind fertig!

Denn es gilt:

45*9 = 405

War das jetzt einfach nur Glück? Oder gibt es noch mehr zweistellige Zahlen, deren Produkt mit einer einstelligen Zahl man mit diesem Trick einfach so aufschreiben kann? Also durch Einfügen einer Null?

Finden Sie alle Zahlen, mit denen der Rechentrick klappt!

insgesamt 42 Beiträge
fehleinschätzung 09.06.2018
1. knapp vorbei:
Dies führt zur schon bekannten Lösung*45*9=409.*Also gibt es mit*15*7=105*nur eine weitere Lösung. Ich habe keine Lösung gefunden, aber Ihre 409 ist definitiv nicht richtig. ;-)
Dies führt zur schon bekannten Lösung*45*9=409.*Also gibt es mit*15*7=105*nur eine weitere Lösung. Ich habe keine Lösung gefunden, aber Ihre 409 ist definitiv nicht richtig. ;-)
andreasblau 09.06.2018
2.
Was ist mit 18 * 6 = 108 ? Hier eine Lösung mit etwas weniger ausprobieren: (10 a + b)*c = 100a + b lässt sich umformen zu 10*(10-c)*a = (c - 1)*b. Also ist (c-1)*b ein Vielfaches von 10 und hat damit die Primteiler 2 und [...]
Was ist mit 18 * 6 = 108 ? Hier eine Lösung mit etwas weniger ausprobieren: (10 a + b)*c = 100a + b lässt sich umformen zu 10*(10-c)*a = (c - 1)*b. Also ist (c-1)*b ein Vielfaches von 10 und hat damit die Primteiler 2 und 5. Und weil c und b Ziffern sind, muss 2 eine dieser Zahlen und 5 die andere teilen (bis auf die trivialen Fälle wie c = 1 oder b = 0, die man einfach abarbeitet). Es gibt also zwei Möglichkeiten: A) 2 teilt c - 1, also c ist ungerade, und 5 teilt b, also b = 5. B) 2 teilt b, also b ist gerade, und 5 teilt c - 1, also c = 6. Das jeweils in die Gleichung oben eingesetzt und nach a umgeformt ergibt A) a = (c - 1) / (2 * (10 - c)) B) a = b/8 In A) ist a nur ganzzahlig für c = 1, c = 7, und c = 9. c = 1 ist offensichtlich keine Lösung. in B) ist a nur ganzzahlig für b = 0 und b = 8. b = 0 ist offensichtlich keine Lösung. Es bleiben die drei Lösungen 15 * 7 = 105, 45 * 9 = 405, und 18 * 6 = 108
Trexel 09.06.2018
3. Fehlt da nicht eine Lösung?
18*6=108 ist doch eine weitere Lösung?
18*6=108 ist doch eine weitere Lösung?
einEi 09.06.2018
4. Drei Lösungen
"ab*x = a0b" führt zu (10a+b)*c = 100a + b, woraus 10a (c-10) + b (c-1) resultiert. Also muss b(c-1) durch 10 teilbar sein. Primfaktorzerlegung von 10 ist 2*5. Teilt 5 den Faktor c-1, ergibt sich, c = 6 und damit die [...]
"ab*x = a0b" führt zu (10a+b)*c = 100a + b, woraus 10a (c-10) + b (c-1) resultiert. Also muss b(c-1) durch 10 teilbar sein. Primfaktorzerlegung von 10 ist 2*5. Teilt 5 den Faktor c-1, ergibt sich, c = 6 und damit die Lösung "18*6 = 108". Ist Teilt 5 den Faktor b, ergibt sich b = 5 und nur c=7 und c=9 führen hier zu ganzen Ergebnissen, namentlich 15*7 = 105 und die in der Aufgabenstellung gegbene.
AufJedenFall 09.06.2018
5.
Relativ komplizierter Lösungsweg. Auch ich hatte mit (10a + b)*c = 100a + b angefangen, dass kann man umformen zu a/b = 1/10 * (c-1)/(10-c), dann schaut man sich die rechte Seite für alle c von 2 bis 9 an und merkt schnell, dass [...]
Relativ komplizierter Lösungsweg. Auch ich hatte mit (10a + b)*c = 100a + b angefangen, dass kann man umformen zu a/b = 1/10 * (c-1)/(10-c), dann schaut man sich die rechte Seite für alle c von 2 bis 9 an und merkt schnell, dass nur bei der Wahl von c von 6 (1/8), 7 (1/5) und 9 (4/5) Brüche entstehen die man mit 2 ganzen einstelligen Zahlen darstellen kann. Die 9 ja schon vorgegeben war ja schon gegeben, also haben wir noch 18 und 6 und 15 und 7

Artikel

© SPIEGEL ONLINE 2018
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung der SPIEGELnet GmbH
TOP