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Rätsel der Woche

Vier Dreiecke im Quadrat

Ein Quadrat ist in vier Dreiecke aufgeteilt. Zwei davon sind gleich groß. Welche Fläche hat das gelbe Dreieck?

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Von und (Grafik)
Sonntag, 11.08.2019   16:25 Uhr

Die Klassiker der Geometrie sind Ihnen hoffentlich noch halbwegs geläufig: Satz des Pythagoras, Ähnlichkeitssatz für Dreiecke, Satz des Thales. Im neuen Rätsel der Woche sind zumindest Elementarkenntnisse der Geometrie gefragt.

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge von 6. Darin sind vier Dreiecke eingezeichnet. Das grüne ist rechtwinklig - eine Kathete hat die Länge 3, die zweite eine Länge von 6.

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Von den drei anderen Dreiecken wissen wir nur, dass sie sich einen Eckpunkt teilen. Dieser gemeinsame Punkt liegt auf der Hypotenuse des grünen Dreiecks. Zudem ist bekannt, dass die beiden blau gefärbten Dreiecke gleich groß sind.

Welche Fläche hat dann das gelbe Dreieck?

insgesamt 41 Beiträge
rotella 11.08.2019
1. Geradengleichung
Mit einem xy-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Geraden, deren Teilstück der Hypotenuse des grünen Dr. entspricht: y=3+1/2*x Die Fläche des gelben Dr. beträgt Fgelb(y)=1/2*6*y, die des linken Dr. ergibt sich zu [...]
Mit einem xy-Koordinatensystem lautet die Gleichung der Geraden, deren Teilstück der Hypotenuse des grünen Dr. entspricht: y=3+1/2*x Die Fläche des gelben Dr. beträgt Fgelb(y)=1/2*6*y, die des linken Dr. ergibt sich zu Flinks(x)=1/2*3*x und des rechten Dr. zu Frechts(x)=1/2*6*(6-x). Gleichsetzen Flinks(x)=Frechts(x) ergibt x=4 und daraus y=5. Das gelbe Dr. besitzt also die Fäche 1/2*6*5=15.
UliBreimaier 11.08.2019
2. 15
Wenn man die Spitze des gelben Dreieckes auf der Hypotenuse des grünen von links unten nach rechts oben wandern lässt, und dabei die linke Kante des äußeren Quadrates als Teil der "y-Achse" betrachtet, dann ergibt [...]
Wenn man die Spitze des gelben Dreieckes auf der Hypotenuse des grünen von links unten nach rechts oben wandern lässt, und dabei die linke Kante des äußeren Quadrates als Teil der "y-Achse" betrachtet, dann ergibt sich für die Fläche des gelben Dreiecks A[gelb] = 1/2 * 6 * (3+x/2) = 9 + 3x/2. Für das linke blaue Dreieck ist A[blau-links] = 1/2 * 3 * x = 3x/2, und für das rechte blaue Dreieck ist A[blau-rechts] = 1/2 * 6 * (6-x) = 18 - 3x. Die beiden blauen Dreiecke werden dann für x = 4 gleich groß, und der Flächeninhalt des gelben Dreiecks für x = 4 ergibt sich zu 15. Schöne Aufgabe ;)
UliBreimaier 11.08.2019
3. zwei Hirne gleichzeitig im Gleichklang
@rotella: Grmpf - Sie waren schneller ;) Die Musterlösung ist eleganter, weil sie mit dem Höhenverhältnis der blauen Teildreiecke auskommt. "Unseren" Ansatz kann man jedoch auch für beliebige reelle Werte der kurzen [...]
@rotella: Grmpf - Sie waren schneller ;) Die Musterlösung ist eleganter, weil sie mit dem Höhenverhältnis der blauen Teildreiecke auskommt. "Unseren" Ansatz kann man jedoch auch für beliebige reelle Werte der kurzen Kathetenlänge des grünen Teildreieckes verwenden. Und sogar für entsprechende Dreiecke als Teile eines großen Rechteckes... Da bin ich ja mal gespannt, was sich die anderen Forengäste so alles an Aufgabenerweiterungen ausdenken werden ;)
Jorki 11.08.2019
4. ohne Gleichung
Wenn man die Spitze des gelben Dreiecks ans Ende der Hypotenuse legt, sind alle Dreiecke gleich groß, oder sogar gleich.
Wenn man die Spitze des gelben Dreiecks ans Ende der Hypotenuse legt, sind alle Dreiecke gleich groß, oder sogar gleich.
hietzinger 11.08.2019
5. gleich groß
könnte auch kongruent bedeuten. es ist aber gemeint, dass sie die gleiche fläche besitzen- schlecht formuliert
könnte auch kongruent bedeuten. es ist aber gemeint, dass sie die gleiche fläche besitzen- schlecht formuliert
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