Schrift:
Ansicht Home:
Wissenschaft

Rätsel der Woche

Drei Hunde im Dreieck

Wenn die Tiere zu dritt sind, spielen sie völlig verrückt. Drei unterschiedlich lange Leinen sollen die Hunde im Zaum halten. Aber wo genau müssen sich ihre Besitzer dann hinstellen?

SPIEGEL ONLINE

Von und (Grafik)
Samstag, 27.04.2019   16:29 Uhr

Einzeln sind die drei Hunde ganz brav. Doch wenn sie sich zu dritt auf der Wiese treffen, gibt es kein Halten mehr. Ihre Besitzer verlieren dann völlig die Kontrolle - die Tiere büchsen gemeinsam aus und machen, was sie wollen.

Die Herrchen haben jedoch auch beobachtet, dass zwei Hunde zusammen kaum Probleme machen. Sie beschließen daher, die Tiere anzuleinen und sich so aufzustellen, dass sich die Hunde zwar zu dritt gegenseitig beschnuppern, sich jedoch höchstens zu zweit gemeinsam in eine Richtung bewegen können.

Damit alle Hunde zu Beginn den gleichen Abstand voneinander haben, sollen die Standorte der drei Besitzer die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks bilden. Dummerweise sind die Leinen jedoch unterschiedlich lang. Eine hat die Länge 3, die andere die Länge 4 und die dritte die Länge 5.

Folgende Skizze zeigt die gewünschte Anordnung. Die Hundebesitzer stehen an den Eckpunkten des Dreiecks, die drei Hunde können sich im Innern des Dreiecks nur an dem eingezeichneten Punkt treffen.

SPIEGEL ONLINE

Wenn die Länge der drei Leinen mit 3, 4 und 5 gegeben ist - wie lang ist dann die Seite a des gleichseitigen Dreiecks?

Hinweis: Dieses Rätsel ist anspruchsvoll, Sie können es aber durchaus mit elementaren Geometriekenntnissen lösen. Wenn Sie gern mit Stift und Lineal arbeiten wollen, nutzen Sie die folgende Pdf-Vorlage, die das Dreieck gleich zweimal enthält.

PDF-Download

insgesamt 101 Beiträge
duya 27.04.2019
1. Satz von Heron
Ich habe die Flächen der drei inneren Dreiecken (in Abhängigkeit von a) mit dem Satz von Heron ausgerechnet und deren Summe mit der Fläche des gleichseitigen Dreiecks gleichgesetzt und schließlich nach a aufgelöst: [...]
Ich habe die Flächen der drei inneren Dreiecken (in Abhängigkeit von a) mit dem Satz von Heron ausgerechnet und deren Summe mit der Fläche des gleichseitigen Dreiecks gleichgesetzt und schließlich nach a aufgelöst: sqrt((a+4+5)/2*((a+4+5)/2-a)*((a+4+5)/2-4)*((a+4+5)/2-5))+ sqrt((3+a+5)/2*((3+a+5)/2-3)*((3+a+5)/2-a)*((3+a+5)/2-5))+ sqrt((3+4+a)/2*((3+4+a)/2-3)*((3+4+a)/2-4)*((3+4+a)/2-a))=a*a/4*sqrt(3) => a=sqrt(25+12*sqrt(3))
sailor888 28.04.2019
2. zu Heron
Der Inhalt EINES Dreieckes ist dann die Wurzel aus einem vollbesetzten Polynom 4. Grades. Die Summe dreier solcher Wurzeln ist dann c*a^2. Das lässt sich aber nur iterativ lösen. Das Ergebnis ist dann 6,7664.... und nicht [...]
Der Inhalt EINES Dreieckes ist dann die Wurzel aus einem vollbesetzten Polynom 4. Grades. Die Summe dreier solcher Wurzeln ist dann c*a^2. Das lässt sich aber nur iterativ lösen. Das Ergebnis ist dann 6,7664.... und nicht sqrt(25+12*sqrt(3)) (oder welcher Solver gibt so eine Lösung aus?). Iterative Lösungen gibts natürlich immer, einfach zB mit dem Cosinus-Satz.
ayv62957 28.04.2019
3.
Jaja, immer gleich die einfachste und unkomplizerteste Lösung nehmen. Bloß nicht mal richtig anstrengen ;-)
Zitat von duyaIch habe die Flächen der drei inneren Dreiecken (in Abhängigkeit von a) mit dem Satz von Heron ausgerechnet und deren Summe mit der Fläche des gleichseitigen Dreiecks gleichgesetzt und schließlich nach a aufgelöst: sqrt((a+4+5)/2*((a+4+5)/2-a)*((a+4+5)/2-4)*((a+4+5)/2-5))+ sqrt((3+a+5)/2*((3+a+5)/2-3)*((3+a+5)/2-a)*((3+a+5)/2-5))+ sqrt((3+4+a)/2*((3+4+a)/2-3)*((3+4+a)/2-4)*((3+4+a)/2-a))=a*a/4*sqrt(3) => a=sqrt(25+12*sqrt(3))
Jaja, immer gleich die einfachste und unkomplizerteste Lösung nehmen. Bloß nicht mal richtig anstrengen ;-)
permissiveactionlink 28.04.2019
4. #1,#2
Ich hatte es erst auch mit dem Cosinussatz versucht, kam da aber nicht weiter, weil man dann drei Winkel benötigt, die zusammen 360° haben. Also Heron. Eine numerische Lösung hatte ich damit vergleichsweise schnell, aber keine [...]
Ich hatte es erst auch mit dem Cosinussatz versucht, kam da aber nicht weiter, weil man dann drei Winkel benötigt, die zusammen 360° haben. Also Heron. Eine numerische Lösung hatte ich damit vergleichsweise schnell, aber keine exakte mathematische Formellösung. Beim Lösungsweg über Heron steht auf der einen Seite (a^2/4)*sqrt(3), die Fläche des gleichseitigen Dreiecks, und auf der anderen Seite die Summe dreier Quadratwurzelterme : (sqrt((64 - a^2) * (a^2 -4)) + sqrt((49 - a^2) * (a^2 -1)) + sqrt((81 - a^2) * (a^2 -1)))/4. Da habe ich keinen Weg gefunden, der zur exakten Lösung führt. Der Gleichungslöser in meinem HP-Rechner zeigt als besondere Anomalie bei dieser Gleichung ständig Error 0, wenn man nicht eine Anfangsnäherung nutzt, die nahe bei sechs liegt ! (Sowas hatte ich auch noch nicht). Eine (für meine Möglichkeiten) höchst anspruchsvolle Aufgabe mit einem eleganten Lösungsweg. Muss man gesehen haben ! Aber ich habe es nur numerisch geschafft, die Länge von a zu ermitteln, wie vermutlich die meisten, die sich an der Aufgabe versucht haben. Euklid, Thales, Heron und Pythagoras hätte da nur mitleidig die Köpfe geschüttelt....
bernd.kaltenhaeuser 28.04.2019
5. #1 und 2 Heron
Die Gleichung mit drei Wurzeln ist tatsächlich analytisch lösbar (immer eine Wurzel auf eine Seite und dann quadrieren), aber es ist ein unglaublicher Aufwand das aufzudröseln.
Die Gleichung mit drei Wurzeln ist tatsächlich analytisch lösbar (immer eine Wurzel auf eine Seite und dann quadrieren), aber es ist ein unglaublicher Aufwand das aufzudröseln.

Artikel

© SPIEGEL ONLINE 2019
Alle Rechte vorbehalten
Vervielfältigung nur mit Genehmigung
TOP